Cách giải phương trình vi phân cấp 1

Một trong số những dạng cơ bạn dạng của phương trình vi phân hay là phương trình vi phân con đường tính cấp 1, nội dung bài viết này sẽ giải quyết bài toán về phương trình vi phân tuyến tính này. Đây là một trong những môn học mình bị ác cảm cũng chính vì thế đề xuất mình mặc định là không hiểu biết nổi gì, đôi khi nghĩ lại thấy gọi một vấn đề hay là không còn phụ thuộc vào vào niềm tin. Nhưng không sao, đâu cũng vào kia kakaka. OK Let"s go!

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình vi phân bao gồm dạng: $y"+p(x)y=q(x)$

Trước khi xử trí thằng này thì ta sẽ giải pháp xử lý thằng đệ của nó, là 1 trong những trường hợp quan trọng đặc biệt khi $q(x)=0$ mà tín đồ ta điện thoại tư vấn là phương trình vi phân con đường tính cấp cho 1 thuần nhất. (Mẹo: cứ thêm chữ thuần độc nhất là vế phải bằng 0)

1. Phương trình vi phân con đường tính cấp cho 1 thuần nhất

Dạng. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất có dạng: $$y"+p(x)y=0 quad (1)$$

Phương pháp giải.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình vi phân cấp 1

Cách 1. Trở nên phân ly (Tách biến)

Nếu chú ý một chút thì $(1)$ là phương trình vi phân tách bóc biến (hay thay đổi phân ly). Cách làm đối với phương pháp này là tách mỗi đổi mới về mỗi vế của phương trình.

Ta biến hóa một chút

$$eginaligned(1)&Leftrightarrow y"=-p(x)y\&Leftrightarrow dfracdydx=-p(x)y\ &Leftrightarrow dfracdyy=-p(x)dx endaligned$$

Tới phía trên ta lấy tích phân hai vế lên:

$$eginaligned&intdfracdyy=int-p(x)dx+C_1\ &Leftrightarrow ln|y|=int-p(x)dx +C_1 \ &Leftrightarrow y=e^int-p(x)dx+C_1\ &Leftrightarrow y=e^C_1e^int-p(x)dx\ &Leftrightarrow y=Ce^int-p(x)dx quad (C=e^C_1=const)endaligned$$

Lưu ý một chút ít là việc lựa lựa chọn hằng số thế nào không quan liêu trọng, thường thì ta đang chọn làm thế nào cho gọn nhất, như trên $e^C_1$ là một trong hằng số phụ thuộc $C_1$, ta rất có thể đặt $C=e^C_1$ mà lại không sợ tác động kết quả.

Tới đây ta đúc rút được công thức nghiệm tổng quát của $(1)$ là:

$$oxedy=Ce^int-p(x)dx quad (2)$$

Hãy nhớ công thức trên để hoàn toàn có thể làm dạng toán này một biện pháp dễ dàng. Ta đi sang 1 ví dụ.

Ví dụ. search nghiệm bao quát của phương trình: $$y"-dfrac2x1+x^2y=0$$

Giải.

Giải trực tiếp

$$eginaligned&y"-dfrac2x1+x^2y=0\Leftrightarrow & dfracdydx=dfrac2x1+x^2y\Leftrightarrow và dfracdyy=dfrac2xdx1+x^2\Leftrightarrow &intdfracdyy=intdfrac2xdx1+x^2+C_1\Leftrightarrow &intdfracdyy=intdfracd(1+x^2)1+x^2+C_1\Leftrightarrow &ln|y|=ln(1+x^2)+C_1\Leftrightarrow &y=e^C_1(1+x^2)\Leftrightarrow &y=C(1+x^2) quad (C=e^C_1)endaligned$$

Nếu áp dụng ngay cách làm $(2)$ thì sẽ tiết kiệm chi phí được thời hạn hơn. Với ví dụ như trên thì $p(x)=-dfrac2x1+x^2$. Lúc đó:

$$eginalignedy&=Ce^int-p(x)dx\y&=Ce^intfrac2x1+x^2dx\y&=Ce^intfracd(1+x^2)1+x^2\y&=Ce^ln(1+x^2)\y&=C(1+x^2)endaligned$$

Vậy nghiệm bao quát của phương trình là: $y=C(1+x^2)$

Cách 2. Quá số tích phân

Ý tưởng phương thức này là sẽ gửi vế trái của $(1)$ về dạng vi phân toàn phần của một hàm làm sao đó tức là có dạng $u"=0$. Khi ấy chỉ việc lấy tích phân nhì vế nữa là xong. Tuy nhiên không cần lúc làm sao vế trái cũng chính là vi phân toàn phần của một hàm làm sao đó, mong muốn có vậy ta đề nghị thêm giảm một đại lượng mà ở chỗ này người ta call là vượt số tích phân.

Đối với phương pháp này chỉ việc nhớ mỗi loại thằng đệ $e^int p(x)dx$. Nắm là xong! Ở đây đang xét vào thuần độc nhất vô nhị (tức $q(x)=0$), sau không thuần tốt nhất ($q(x) e 0$) thì với thằng $e^int p(x)dx$ cũng giải vô tư. Còn những cách khác nhằm mình biết thêm, chứ chỉ cần nhớ mỗi thằng $e^int p(x)dx$ là đủ xử tử dạng phương trình vi phân tuyến đường tính cấp một rồi.

Xem thêm: Mai Worked Hard, She Passed Her Exam, She Worked Hard _She Passed The Exam

Ta nhân nhị vế của $(1)$ cùng với thằng đệ nhắc đến ở trên $e^int p(x)dx$ ta được:

$$eginaligned&y"+p(x)y=0\&y"e^int p(x)dx+p(x)ye^int p(x)dx=0\endaligned$$

Khi đó vế trái là vi toàn phần của một hàm, tức là vế trái có thể viết lại dưới dạng $(ye^int p(x)dx)"$. Coi $y$ là hàm theo $x$. Giả dụ tính $(ye^int p(x)dx)"$ rõ ràng sẽ ra ta sẽ được vế trái.

Như vậy ta sẽ sở hữu là:

$$eginaligned&(ye^int p(x)dx)"=0\&ye^int p(x)dx=C\&y=Ce^int -p(x)dxendaligned$$

Cuối thuộc ta cũng dẫn đến bí quyết $(2)$.

Tới đây gồm thể các bạn thắc mắc ủa vì sao phải nhân đến thằng đệ $e^int p(x)dx$ mà lại không nhân cho thằng khác, rồi làm sao biết thằng đệ này ở đâu ra cơ mà tin dùng nó? Có một phần lý thuyết nói về phương thức sử dụng vượt số tích phân này và phương pháp tìm quá số tích phân như thế nào. Các bạn có thể tỉm thêm vào sách, so với dạng tuyến đường tính này thì vượt số tích phân luôn luôn là $e^int p(x)dx$, buộc phải cứ lâm vào cảnh tuyến tính thì điện thoại tư vấn thằng đệ vào chắc hẳn rằng sẽ giải quyết và xử lý được vấn đề. Bản thân thì hay quên công thức, bắt buộc cứ quên thì ráng thằng đệ này vào nháp nháp là lưu giữ lại ngay.

Thử ví dụ như trên cho giải pháp này.

Ví dụ. tra cứu nghiệm bao quát của phương trình: $$y"-dfrac2x1+x^2y=0$$

Giải.

Với đề trên thì $p(x)=-dfrac2x1+x^2$

Đầu tiên ta đề xuất tìm quá số tích phân là thằng đệ $e^int p(x)dx$

$$eginaligned&e^int p(x)dx=e^int -frac2x1+x^2dx\=&e^-intfracd(1+x^2)1+x^2=e^-ln(1+x^2)\=&e^ln(1+x^2)^-1=frac11+x^2endaligned$$

Giờ ta chỉ việc nhân vào hai vế cùng với $dfrac11+x^2$

$$eginaligned&y" imesdfrac11+x^2-dfrac2x1+x^2y imesdfrac11+x^2=0\Leftrightarrow &dfrac11+x^2y"-dfrac2x(1+x^2)^2y=0\Leftrightarrow &igg( dfracy1+x^2igg)"=0\Leftrightarrow & dfracy1+x^2=C\Leftrightarrow & y=C(1+x^2)endaligned$$

Tóm lại: Đối cùng với phương trình vi phân tuyến tính cấp cho 1 thuần nhất, ta hoàn toàn có thể giải siêu bình thường bằng cách đưa về phương trình vi phân bóc biến (biến phân ly), ta cũng rất có thể giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp thừa số tích phân, dịp đó thì chỉ lưu giữ tới thằng đệ $e^int p(x)dx$.

Xem thêm: Một Cung Phản Xạ Gồm Những Bộ Phận Nào, Cho Biết Cung Phản Xạ Trên Gồm Những Bộ Phận Nào

Qua phần này thì nên nhớ dạng phương trình vi phân $y"+p(x)y=0$ thì gồm nghiệm tổng thể là $y=Ce^int -p(x)dx$

Trước khi cách xử trí thằng phương trình vi phân tuyến đường tính cung cấp 1 ko thuần nhất (ở phần thiết bị 2) thì nên cùng làm cho vài bài xích tập nhỏ tuổi để thân quen với dạng vi phân đường tính cung cấp 1 thuần nhất.