cach xac dinh ham so chan le

Bài viết lách chỉ dẫn cách thức giải vấn đề xét tính chẵn, lẻ của hàm số, đấy là dạng toán thông thường bắt gặp vô nội dung đại cương về hàm số nằm trong lịch trình Đại số 10 chương 2. Nguồn: ToanMath.com

A. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ

Bạn đang xem: cach xac dinh ham so chan le

1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có tập luyện xác định D.

• Hàm số \(f\) được gọi là hàm số chẵn nếu như với \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\) .

• Hàm số \(f\)  được gọi là hàm số lẻ nếu như với \(\forall x \in D\)thì \( - x \in D\) và \(f\left( x \right) =  - f\left( { - x} \right)\)

Chú ý: Một hàm số hoàn toàn có thể ko chẵn cũng ko lẻ.

2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung thực hiện trục đối xứng.

• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ phỏng thực hiện tâm đối xứng.

3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác tấp tểnh trên \(D\)

• \(f\) là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

• \(f\) là hàm số lẻ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

• Cách 1. Tìm tập luyện xác định \(D\) của hàm số.

• Bước 2. Kiểm tra:

+ Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\) thì chuyển sang bước 3.

+ Nếu tồn bên trên \({x_0} \in D\)  mà \( - {x_0} \notin D\) thì tóm lại hàm ko chẵn cũng ko lẻ.

• Cách 3. Xác tấp tểnh \(f\left( { - x} \right)\) và đối chiếu với \(f\left( x \right):\)  

+ Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) thì tóm lại hàm số là chẵn.

+ Nếu \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)thì tóm lại hàm số là lẻ.

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của những hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\)  

b) \(f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} \)

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}  + \sqrt {5 - x} \)

d) \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + x}  + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }}\)

Giải

a) Tập xác lập của hàm số: \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\) ta  có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\sqrt[3]{{ - x}} =  - \left( {3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}} \right) =  - f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\)là hàm số lẻ.

b) Tập xác lập của hàm số:  \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\)ta có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^4} + \sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}  = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1}  = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} \) là hàm số chẵn.

c) Điều khiếu nại xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5 \ge 0\\5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 5\\x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 \le x \le 5\)

Suy rời khỏi tập luyện xác lập của hàm số là: \(D = \left[ { - 5;5} \right]\)

Với mọi \(x \in \left[ { - 5;5} \right]\)ta có \( - x \in \left[ { - 5;5} \right]\) và \(f\left( { - x} \right) = \sqrt { - x + 5}  + \sqrt {5 - \left( { - x} \right)}  = \sqrt {5 - x}  + \sqrt {x + 5}  = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}  + \sqrt {5 - x} \) là hàm số chẵn.

d) Điều khiếu nại xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}2 + x \ge 0\\2 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le x < 2\]

Suy rời khỏi tập luyện xác lập của hàm số là: \(D = \left[ { - 2;2} \right)\)

Ta sở hữu \({x_0} =  - 2 \in \left[ { - 2;2} \right)\)  nhưng  \( - {x_0} = 2 \notin \left[ { - 2;2} \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + x}  + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }}\) ko chẵn và ko lẻ.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của những hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^4} - 4x + 2\)

b) \(f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right|\)

c) \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\)

d) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\)

Xem thêm: an sang nhu mot ong vua

Giải

a) Tập xác lập của hàm số: \(D = R\)  

Ta có \[f\left( { - 1} \right) = 7;\,\,f\left( 1 \right) =  - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) \ne f\left( 1 \right)\\f\left( { - 1} \right) \ne  - f\left( 1 \right)\end{array} \right.\]

Vậy hàm số ko chẵn và ko lẻ.

b) Tập xác lập của hàm số: \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\) tao có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = \left| {\left| { - x + 2} \right| - \left| { - x - 2} \right|} \right| = \left| {\left| {2 - x} \right| - \left| {x + 2} \right|} \right| = \left| {\left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right|} \right|\)

Suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)  

Do đó \(f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right|\) là hàm số chẵn.

c) Ta sở hữu \(\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| \ge x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  - x \ne 0\,\,\forall x\)

Suy rời khỏi tập luyện xác lập của hàm số là: \(D = R\) .

Mặt khác \(\sqrt {{x^2} + 1}  > \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right| \ge  - x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + x \ne 0\,\,\forall x\) bởi đó \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)}} - 2{x^2} - 1 = 2x\sqrt {{x^2} + 1} \)

Với mọi \(x \in R\) tao có  \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}  =  - 2x\sqrt {{x^2} + 1}  =  - f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}}\)là hàm số lẻ.

d) Tập xác lập của hàm số: \(D = R\)  

Dễ thấy với mọi \(x \in R\) tao có  \( - x \in R\)

Với mọi \(x > 0\) tao sở hữu \( - x < 0\) suy rời khỏi \(f\left( { - x} \right) =  - 1\), \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Với mọi \(x < 0\) ta sở hữu \( - x > 0\) suy rời khỏi \(f\left( { - x} \right) = 1;\,\,f\left( x \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Và \(f\left( { - 0} \right) =  - f\left( 0 \right) = 0\)

Do cơ với mọi \(x \in R\)ta có \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\)là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Tìm \(m\)  để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}\) là hàm số chẵn.

Điều khiếu nại xác định: \(\sqrt {{x^2} + 1}  \ne m\)
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\)  là hàm số chẵn suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)với mọi xx thỏa mãn điều kiện \(\sqrt {{x^2} + 1}  \ne m\)
Ta có  \(f\left( { - x} \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}\)
Suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}} = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}} \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐK xác định \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

+ Với \(m = 1\)  ta sở hữu hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}\)
Điều khiếu nại xác định: \(\sqrt {{x^2} + 1}  \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0\)  
Suy rời khỏi tập luyện xác lập của hàm số là: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\)  
Dễ thấy với mọi \(x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \( - x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\)  và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}\) là hàm số chẵn.
+ Với \(m =  - 1\) ta sở hữu hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}\)
Tập xác lập của hàm số \(D = R\)
Dễ thấy với mọi \(x \in R\)  ta có \( - x \in R\)  và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)  
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}\) là hàm số chẵn.
Vậy \(m =  \pm 1\)  là độ quý hiếm cần thiết mò mẫm.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Đề bài
Bài toán 1. Xét tính chẵn, lẻ của những hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + 4\)
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} + 1}}\)
c) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  - \sqrt {1 - x} \)
d) \(f\left( x \right) = \frac{{x - 5}}{{x - 1}}\)
e) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1\)
f) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 1}}\)
g) \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right| + \left| {x + 1} \right|}}{{\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x + 1} \right|}}\)
h) \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 2} \right|}}{{\left| {x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right|}}\)

Bài toán 2. Tìm \(m\)  để hàm số: \(y = f\left( x \right) = \frac{{x\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2m - 1} \right)}}{{x - 2m + 1}}\)  là hàm số chẵn.

Bài toán 3. Cho hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,hắn = g\left( x \right)\) có nằm trong tập luyện xác định \(D\). Chứng minh rằng:
a) Nếu nhị hàm số bên trên lẻ thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\)là hàm số lẻ.
b) Nếu nhị hàm số bên trên một chẵn, một lẻ thì hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\)là hàm số lẻ.

Bài toán 4.
a) Tìm \(m\)  để đồ gia dụng thị hàm số sau nhận gốc tọa độ \(O\)  làm tâm đối xứng: \(y = {x^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 3\)
b) Tìm \(m\) để đồ gia dụng thị hàm số sau nhận trục tung thực hiện trục đối xứng: \(y = {x^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} + {m^2} - 1\)

Bài toán 5. Chứng minh rằng đồ gia dụng thị hàm số sau nhận trục tung thực hiện trục đối xứng: \(y = {x^2} + \sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} \)

2. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Hàm số lẻ.
b) Hàm số chẵn.
c) Tập xác lập của hàm số là \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)  nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - x}  = \sqrt {1 + x}  =  - f\left( x \right)\)
Vậy hàm số đang được cho rằng hàm số lẻ.
d) Tập xác lập của hàm số là: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)  
Ta có \(x =  - 1 \in D\) nhưng \( - x = 1 \notin D\)
Do cơ hàm số ko chẵn và ko lẻ.
e) Tập xác lập của hàm số là: \(D = R\)  
Ta có \(f\left( 1 \right) = 2;\,\,f\left( { - 1} \right) = 6\)
Suy ra \(f\left( { - 1} \right) \ne f\left( 1 \right);\,\,f\left( { - 1} \right) \ne  - f\left( 1 \right)\)  
Do cơ hàm số ko chẵn và ko lẻ.
f) Tập xác lập của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{ - {x^3}}}{{\left| { - x} \right| - 1}} = \frac{{ - {x^3}}}{{\left| x \right| - 1}} =  - f\left( x \right)\,\,\forall x \in D\)
Vậy hàm số đang được cho rằng hàm số lẻ.
g) Tập xác lập của hàm số là \(D = R\)nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\left| { - x - 1} \right| + \left| { - x + 1} \right|}}{{\left| { - 2x - 1} \right| + \left| { - 2x + 1} \right|}} = f\left( x \right)\)

Vậy hàm số đang được cho rằng hàm số chẵn.
h) Điều khiếu nại xác định: \(\left| {x - 1} \right| \ne \left| {x + 1} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne x + 1\\x - 1 \ne  - \left( {x + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 0\)
Suy rời khỏi tập luyện xác lập của hàm số là \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\), do đó \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\left| { - x + 2} \right| + \left| { - x - 2} \right|}}{{\left| { - x - 1} \right| - \left| { - x + 1} \right|}} =  - f\left( x \right)\)
Vậy hàm số đang được cho rằng hàm số lẻ.

Bài toán 2. Đáp số \(m = \frac{1}{2}\).

Bài toán 3.
a) Ta sở hữu hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) có tập luyện xác định \(D\)
Do hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,hắn = g\left( x \right)\)  lẻ nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right);\,\,g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right)\) suy ra \(y\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right) + g\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right) - g\left( x \right) =  - \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] =  - y\left( x \right)\)
Suy rời khỏi hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,hắn = g\left( x \right)\) lẻ.
Khi cơ hàm số \(y = f\left( x \right)g\left( x \right)\)  có tập luyện xác lập là \(D\)  nên \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có \(y\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\left( { - g\left( x \right)} \right) =  - f\left( x \right)g\left( x \right) =  - y\left( x \right)\)
Do cơ hàm số \(y = f\left( x \right)g\left( x \right)\) lẻ.

Bài toán 4.
a) Tập xác lập của hàm số: \(D = R\) , suy ra \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Đồ thị hàm số đang được cho tới nhận gốc tọa độ \(O\)  làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ \[ \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right) \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){\left( { - x} \right)^2} + \left( {m + 3} \right)\left( { - x} \right) + m - 3 =  - \left[ {{x^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 3} \right]\]

\( \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right) = 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 9 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\)
b) Tập xác lập của hàm số: \(D = R\)  suy ra \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Đồ thị hàm số đang được cho tới nhận trục tung thực hiện trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){\left( { - x} \right)^3} + {m^2} - 1 = {x^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} + {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} = 0\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Bài toán 5. Tập xác lập của hàm số: \(D = R\)
\(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)
Ta có: \(y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \sqrt {3 - \left( { - x} \right)}  + \sqrt {3 + \left( { - x} \right)}  = {x^2} + \sqrt {3 + x}  + \sqrt {3 - x}  = y\left( x \right)\)
Do cơ hàm số \(y = {x^2} + \sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} \) là hàm số chẵn, nên nhận trục tung thực hiện trục đối xứng.

Luyện Bài tập luyện trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay