Hàm số khả vi và vi phân toàn phần

Ta đang được hiểu được định nghĩa đạo hàm riêng biệt cho tới tất cả chúng ta hiểu rằng vận tốc thay cho thay đổi của hàm số Khi cho một trong những trở nên số thay cho thay đổi độ quý hiếm. Bây gờ, tất cả chúng ta tiếp tục nghiên cứu và phân tích sự thay cho thay đổi của hàm số 2 trở nên $z = f(x,y)$ Khi cho tất cả nhị trở nên số thay cho thay đổi.

Bạn đang xem: xet tinh kha vi cua ham so

Xét hàm số $z = f(x,y)$ và $(x_0 ; y_0)$ là vấn đề nằm trong miền xác lập D. Ta cho tới x, nó thay cho thay đổi 1 lượng ứng ${\Delta}x , {\Delta}y$ sao cho tới $(x_{0} + {\Delta}x ; y_{0} + {\Delta}y) \in D$ . Khi cơ, độ quý hiếm của hàm số tiếp tục thay cho thay đổi một lượng:

${\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) - f(x_0 ; y_0)$

1. Định nghĩa 1:

Hàm số f(x;y) được gọi là khả vi bên trên điểm $(x_0;y_0)$ nếu như số gia toàn phần ${\Delta}f(x_0;y_0)$ hoàn toàn có thể màn trình diễn được bên dưới dạng:

${\Delta}f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +B.{\Delta}y +{\alpha}.{\Delta}x + {\beta}.{\Delta}y$ (1)

trong cơ A, B là những số ko dựa vào Δx, Δy; còn α, β → 0 Khi Δx, Δy → 0

Khi cơ, đại lượng A.Δx +B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) bên trên $(x_0;y_0)$ ứng với những số gia Δx, Δy và được ký hiệu $df(x_0;y_0)$

Ví dụ:

Xét hàm số $z = x^3 + y^3$ . Ta có:

${\Delta}f(x_0;y_0) = (x_0 + {\Delta}x)^3 + (y_0 + {\Delta}y)^3 - x_0^3 - y_0^3$

Hay:

${\Delta}f(x_0;y_0) = 3x_0^2.{\Delta}x + 3y_0^2.{\Delta}y + 3x_0.{\Delta}x^2 + 3y_0.{\Delta}y^2 + {\Delta}x^3 + {\Delta}y^3$

Do đó:

$A = 3.x_0^2 ; B = 3.y_0^2, {\alpha} = 3x_0.{\Delta}x + {\Delta}x^2 ; {\beta} = 3y_0.{\Delta}y + {\Delta}y^2$

Cho nên hàm số khả vi bên trên $(x_0;y_0)$ và $df(x_0;y_0) = 3x_0^2.{\Delta}x + 3y_0^2.{\Delta}y$

Nhận xét:

1. Xét ${\alpha}.{\Delta}x + {\beta}.{\Delta}y = \left({\alpha}.{ \dfrac{{\Delta}x}{\rho}} + {\beta}.{ \dfrac{{\Delta}y}{\rho}} \right).{\rho}$ , ${\rho} = \sqrt{{\Delta}x^2 + {\Delta}y^2}$

Cho ${\Delta}x \to 0 , {\Delta}y \to 0$ thì $\rho \to 0$ . Khi cơ, vận dụng bất đẳng thức B.C.S và số lượng giới hạn cặp tớ có:

$0 \le \epsilon = \left | {\alpha}.{ \dfrac{{\Delta}x}{\rho}} + {\beta}.{ \dfrac{{\Delta}y}{\rho}} \right| \le \sqrt{{\Delta}x^2 + {\Delta}y^2} \to 0$

Do cơ, ε là VCB Khi ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) hoàn toàn có thể ghi chép bên dưới dạng:

${\Delta}f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +B.{\Delta}y +{\theta}{\rho}$ , 0(ρ) là vô nằm trong bé bỏng bậc cao hơn nữa ρ.

2. Ta ko thể người sử dụng khái niệm nhằm xét sự khả vi của hàm số $z = sinx.cosy$ như ở ví dụ 1 được. Tổng quát lác, chỉ hoàn toàn có thể vận dụng khái niệm nhằm xét sự khả vi cho tới những hàm số dạng nhiều thức, còn những hàm số không giống thì ko thể người sử dụng khái niệm nhằm tham khảo sự khả vi bên trên 1 điều. Vì vậy, tớ rất cần phải thám thính một khí cụ không giống nhằm giải quyết và xử lý yếu tố này.

3. Hàm số $z = f(x,y)$ được gọi là khả vi bên trên miền D nếu như nó khả vi bên trên từng điểm nằm trong D.

2. Định lý 1: (Điều khiếu nại cần thiết nhằm hàm số khả vi)

Nếu hàm số $z = f(x,y)$ khả vi bên trên $(x_0;y_0)$ thì nó liên tiếp bên trên điểm cơ.

Chứng minh:

Vì hàm số khả vi, nên kể từ công thức (1) tớ có:

$\lim\limits_{{\Delta}x , {\Delta}y \to 0} {\left[f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) - f(x_0 ; y_0)\right]} = 0$

Vậy: $\lim\limits_{{\Delta}x , {\Delta}y \to 0} f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) = f(x_0 ; y_0)$

Do cơ, hàm số liên tiếp bên trên $(x_0; y_0)$ .♦

Nhận xét:

1. Nếu hàm số f(x;y) ko liên tiếp bên trên $(x_0;y_0)$ thì sẽ không còn khả vi bên trên điểm cơ.

2. Hàm số khả vi bên trên miền D thì liên tiếp vô miền cơ.

3. Định lý 2:

Nếu f(x;y) khả vi bên trên $(x_0;y_0)$ thì nó đem những đạo hàm riêng biệt $f '_x , f '_y$ bên trên $(x_0; y_0)$ và bọn chúng ứng vì như thế A và B vô biểu thức 1 của khái niệm hàm số khả vi.
Xem thêm: truyen shin cau be but chi

Chứng minh:

Thật vậy, kể từ công thức (1) tớ cho tới $\Delta nó = 0$ , tớ được:

$f(x_0 +{\Delta}x; y_0) -f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +{\alpha}.{\Delta}x$

trong cơ α →0 Khi Δx → 0.

Do đó:

$\lim\limits_{{\Delta}x \to 0} { \dfrac{f(x_0+{\Delta}x ; y_0) - f(x_0 ; y_0)}{{\Delta}x}} = \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} (A + \alpha ) = A$

Vậy $f'_x (x_0; y_0) = A$

Hoàn toàn tương tự động tớ có: $f'_y (x_0; y_0) = B$

Nhận xét:

1. Như vậy, nếu như hàm số f(x,y) khả vi bên trên $(x_0;y_0)$ thì vi phân toàn phần của hàm số bên trên $(x_0; y_0)$ được xác lập bởi:

$df(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}. {\Delta}x + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}. {\Delta}y$

2. Khác với hàm số 1 trở nên (nếu hàm số đem đạo hàm thì tiếp tục khả vi), nếu như hàm số nhị trở nên số f(x,y) đem những đạo hàm riêng biệt bên trên $latex(x_0;y_0) thì ko dĩ nhiên nó đang được khả vi bên trên điểm cơ. Ta xét hàm số sau:

$G(x;y) = \left \{ \begin{array}{cc} { \dfrac{xy}{x^2 + y^2}} & ,(x,y) \ne (0;0) \\ 0 & , (x,y) = (0;0) \end{array} \right.$

Theo khái niệm đạo hàm riêng biệt, tớ có:

$G_x(0;0) = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{G(h,0) - G(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{G(h,0)}{h}} = 0$

Tương tự động tớ có: $G_y(0;0) = 0$ tuy nhiên hàm số G(x;y) ko liên tiếp bên trên (0; 0) (xem phần số lượng giới hạn hàm nhiều biến) nên ko khả vi bên trên (0;0)

4. Định lý 3 (Điều khiếu nại đầy đủ nhằm hàm số khả vi)

Cho hàm số f(x;y) đem những đạo hàm riêng biệt vô một miền D chứa chấp điểm $M(x_0;y_0)$ . Nếu những đạo hàm riêng biệt ấy liên tiếp bên trên M thì hàm số khả vi bên trên điểm cơ.

5. Các ví dụ:

1. Cho hàm: $f(x;y) = \left\{\begin{array}{cc} { \dfrac{2xy}{x^2+y^2}} & \text{khi} (x;y) \ne (0;0) \\ 0 & \text{khi} (x;y) = (0;0) \\ \end{array} \right.$

Tính ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0;0)$ và ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0;0)$ . Hàm đem khả vi bên trên (0;0) hoặc không?

Giải

Để tính những đạo hàm riêng biệt bên trên (0;0) tớ nên người sử dụng khái niệm nhưng mà ko thể thế độ quý hiếm (0;0) vô biểu thức đạo hàm

Ta có:

${ \dfrac{\partial f}{\partial x}}(0;0) = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{f(0+h;0)-f(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{0 - 0}{h}} = 0$

tương tự: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0;0)$ = $\lim\limits_{h \to 0}{ \dfrac{f(0;0+h)-f(0;0)}{h}}$ = $\lim\limits_{h \to 0}{ \dfrac{0 - 0}{h}} = 0$

Mặc cho dù, hàm số đem 2 đạo hàm riêng biệt bên trên (0;0) tuy nhiên ko khả vi bên trên điểm cơ vì như thế hàm số đang được cho tới ko liên tiếp bên trên (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến thủ về điểm (0;0) theo dõi đường thẳng liền mạch nó = kx tớ đem.

$\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)}f(x;y) = \lim\limits_{x \to 0} { \dfrac{2x.kx}{x^2+k^2x^2}} = { \dfrac{2k}{k^2+1}}$